PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG (Nguyễn Tất Thu)

Chào mừng quý vị đến với Đỗ Đường Hiếu.

Quý vị chưa đăng nhập hoặc chưa đăng ký làm thành viên, vì vậy chưa thể tải được các tư liệu của Thư viện về máy tính của mình.

Nếu chưa đăng ký, hãy đăng ký thành viên tại đây hoặc xem phim hướng dẫn tại đây

Nếu đã đăng ký rồi, quý vị có thể đăng nhập ở ngay ô bên phải.

Gốc > Cùng học Toán! >

Tạo bài viết mới PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG (Nguyễn Tất Thu)

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG (Nguyễn Tất Thu)

1. Véc tơ pháp tuyến:

Định nghĩa: Cho (a). Véc tơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0$ gọi là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mp(a)

nếu giá của $\overrightarrow n$ vuông góc với (a), kí hiệu $\overrightarrow n \bot \alpha )$ .

Chú ý:

*Nếu $\overrightarrow n$ là VTPT của (a) thì $k\overrightarrow n {\rm{ }}(k \ne 0)$ cũng là VTPT của (a). Vậy mp(a) có vô số VTPT.

* Nếu hai véc tơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ (không cùng phương) nằm trên hai đường thẳng song song (hoặc nằm trên) (a) thì $\overrightarrow n = [\overrightarrow a ,\overrightarrow b ]$ là một véc tơ pháp tuyến của (a).

* Nếu ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng thì véc tơ $\overrightarrow n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ]$ là một VTPT của mp(ABC).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:

* Cho mp(a) đi qua $M(x_0 ;y_0 ;z_0 )$ , có $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là VTPT . Khi đó phương trình tổng quát của mp(a) có dạng: $A(x - x_0 ) + B(y - y_0 ) + C(z - z_0 ) = 0$ .

* Nếu $mp(\alpha ):Ax + By + Cz + D = 0$ thì $\overrightarrow n = (A;B;C)$ là một VTPT của mp(a).

* Nếu $A(a;0;0),{\rm{ }}B(0;b;0),{\rm{ }}C(0;0;c)$ thì phương trình của mp(ABC) có dạng:

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ và được gọi là phương trình theo đoạn chắn của mp(a).

Ghi nhớ : Để lập pttq của mp(P), ta cần tìm một điểm đi qua và một VTPT.

3. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Lập phương trình của mp(P) trong các trương hợp sau:

1) (P) đi qua $A\left( {1;2;1} \right)$ và song song với mp $\left( Q \right):x + y + 3z - 1 = 0$ .

2) (P) đi qua $M\left( {0;1;2} \right),{\rm{ }}N\left( {0;1;1} \right),{\rm{}}P\left( {2;0;0} \right)$ .

3) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn $MN$ ( $M,N$ ở câu 2).

4) (P) đi qua các hình chiếu của $A91;2;3)$ lên các trục tọa độ.

5) (P) đi qua $E\left( {1;2;0} \right),{\rm{ }}F\left( {0;2;0} \right)$ và vuông góc với mp $\left( R \right):x + y + z + 1 = 0$ .

Lời giải:

1) mp (Q) có $\overrightarrow {n_Q } = (1;1;3)$ là VTPT. Vì $(P)//(Q)$ nên (P) có $\overrightarrow {n_P } = \overrightarrow {n_Q } = (1;1;3)$ là VTPT.

Vậy pt mp(P) là : $1(x - 1) + 1(y - 2) + 3(z - 1) = 0$ hay $x + y + 3z - 6 = 0$ .

2) Ta có: $\overrightarrow {MN} = (0;0; - 1),{\rm{ }}\overrightarrow {NP} =(2; - 1; - 1)$

(P) đi qua $M,N,P$ nên (P) nhận: $\overrightarrow n = [\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NP} ] =( - 1; - 2;0)$ làm VTPT.

Vậy pt của (P): $x + 2y - 2 = 0$ .

3) Gọi I là trung điểm của $MN \Rightarrow I(0;1;\frac{3}{2})$ . mp(P) là mp trung trực của đoạn $MN$ nên (P) đi qua I và nhận $\overrightarrow {MN}$ làm VTPT.

Vậy phương trình (P): $z - \frac{3}{2} = 0$ .

4) Tọa độ hình chiếu của A lên các trục tọa độ là $A_1 \left( {1;0;0} \right),A_2 \left( {0;2;0} \right),{\rm{ }}A_3\left( {0;0;3} \right)$ . Áp dụng phương trình đoạn chắn ta có phương trình của mp(P) là:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y+ 2z - 6 = 0$ .

5) Ta có: $\overrightarrow {EF} = ( - 1;0;0)$ và (R) có $\overrightarrow {n_R } = (1;1;1)$ là VTPT

Vì mp(P) đi qua E,F và vuông góc với mp(R) $\Rightarrow \overrightarrow {n_P } = \overrightarrow {EF},\overrightarrow {n_R } ] = (0;1; - 1)$ là VTPT của (P)

Vậy phương trình mp(P): $y - z - 2 = 0$ .

Chú ý:

1)Qua các ví dụ trên ta thấy để lập phương trình của một mặt phẳng ta phải xác định một điểm mà mặt phẳng đi qua và VTPT của nó. Để xác định VTPT ta cần chú ý một số tính chất sau đây

* Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mp này cũng là VTPT của mp kia.

* Nếu ${\rm{mp}}\left( {\rm{P}} \right) \bot {\rm{AB}}$ thì $\overrightarrow {AB}$ là một VTPT của mp(P).

* Thông thường để lập phương trình mặt phẳng ta phải đi tìm cặp VTCP, từ đó tìm được VTPT.

2) $M(x_0 ;y_0 ;z_0 ) \in (P): Ax + By + Cz + D = 0{\rm{ }}$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0{\rm{ }}$ .

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua $A\left( { - 1;2;3} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( \alpha \right):x - 2 = 0 ; \left( \beta \right):y - z - 1= 0$ .

Giải: Vì mp(P) vuông góc với hai mp $(\alpha )$ và mp $(\beta )$ nên mp(P) có VTPT là

$\overrightarrow {n_P } = {\rm{[}}\overrightarrow {n_\alpha },\overrightarrow {n_\beta } {\rm{]}} = (0;1;1) \Rightarrow {\rm{ptmp}}(P):y + z - 5 = 0$ .

Ví dụ 3: Cho mp $\left( P \right):{\rm{ }}2x + y + z + 1 = 0$ và $A(1;2;3)$ .

1) Tìm hình chiếu vuông góc H của A lên (P).

2) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mp(P).

Giải:

1) Gọi $H(x;y;z)$ là hình chiếu của A lên mp(P), ta có: $2x + y + z + 1 = 0$ (1)

Mặt khác: $AH \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = (x - 1;y - 2;z -3)$ cùng phương với $\overrightarrow {n_P } = (2;1;1)$

$\Rightarrow \frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z -3}}{1} = t \Rightarrow x = 2t + 1;y = t + 2;z = t + 3$ thay vào (1) ta được:

$2(2t + 1) + t + 2 + t + 3 + 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{4}{3}\Rightarrow H( - \frac{5}{3};\frac{2}{3};\frac{5}{3})$ .

2) Gọi $A'(x;y;z)$ đối xứng với A qua mp(P), khi đó H là trung điểm của AA’

$\Rightarrow A'( - \frac{{13}}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3})$ .

Bài tập

Bài 1: Viết phương trình $mp(P)$ biết

1) $mp(P)$ đi qua $A\left( {1;0; - 3} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n = (1; - 3;5)$ .

2) $mp(P)$ đi qua $M\left( {1; - 1;1} \right),{\rm{ }}N\left( {0;2;0} \right),{\rm{}}P\left( { - 2; - 3; - 4} right)$ .

3) $mp(P)$ là mp trung trực của đoạn AB với $A\left( { - 4;3;2} \right),{\rm{ }}B\left( {0; - 1;4} \right)$ .

4) $mp(P)$ đi qua $M\left( {2;3;2} \right)$ và có cặp VTCP là $\overrightarrow u \left( {1;1; - 2} \right);\overrightarrow v \left({ - 3;1;2} \right)$ .

5) $mp(P)$ đi qua $M\left( {2;3;4} \right)$ và song song với trục $Ox;Oz$ .

6) $mp(P)$ đi qua hai điểm $M\left( {1; - 2;1} \right);N\left( { - 1;1;3} \right)$ và // với trục $Oy$ .

7) $mp(P)$ đi qua $\88dpi M\left( {2; - 1;1} \right);N\left( { - 2;3; - 1} \right)$ và vuông góc với mp $\left( Q \right):4x - y - 2z + 1 = 0$ .

8) $mp(P)$ đi qua các hình chiếu của điểm $\88dpi M\left( {4; - 1;2}$ .

Bài 2: Cho mp $\left( P \right):{\rm{ }}2x + y - z + 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {1;1;3} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;1} \right)$ .

a) Tìm hình chiếu của $A$ lên $mp(P)$ .

b) Tìm $M\left( {1;y;z} \right)$ thuộc (P) sao cho $MA=MB$ .

Bài 3: Cho mp $\left( P \right):{\rm{ }}3x - 8y + 7z - 1 = 0$ và hai điểm $A\left( {0;0; - 3} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0; - 1} \right)$ . Tìm $M$ thuộc $(P)$ sao cho tam giác $AMB$ là tam giác đều.

Bài 4: Cho tứ diện $ABCD$ có $A\left( {5;1;3} \right);B\left( {1;6;2} \right);C\left( {5;0;4}\right);D\left( {4;0;6} \right)$

1) Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$ .

2) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {P_1 } \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BC$

3) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {P_2 } \right)$ đi qua $A,B$ và $//CD$

4) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {P_3 } \right)$ đi qua $A$ và chứa $Ox$

5) Viết phương trình mặt phẳng $\left( {P_4 } \right)$ đi qua $B$ và // mặt phẳng $(ACD)$

6) Tìm toạ độ hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $(BCD)$ .

Nhắn tin cho tác giả

Đỗ Đường Hiếu @ 14:58 11/03/2009
Số lượt xem: 27041

Số lượt thích: 0 người

em là sinh viên trường đại học sư phạm hà nội mới gia nhập trang mong m.n ủng hộ ạ. em chuẩn bị giảng thử phần khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng trong bài phương trình tổng quát của mặt phẳng thầy cô hay anh chị nào giúp em được không ạ? em xin cảm ơn nhiều

trần thị nhị @ 15h:31p 17/11/14

TIN TỨC

Tài nguyên dạy học

Các ý kiến mới nhất

Hỗ trợ trực tuyến

Điều tra ý kiến

Thống kê

Ảnh ngẫu nhiên

Thành viên trực tuyến

Sắp xếp dữ liệu

Chào mừng quý vị đến với Đỗ Đường Hiếu.

Tạo bài viết mới PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG (Nguyễn Tất Thu)

Đăng nhập

TIN TỨC

Tài nguyên dạy học

Các ý kiến mới nhất

Hỗ trợ trực tuyến

Điều tra ý kiến

Thống kê

Ảnh ngẫu nhiên

Thành viên trực tuyến

Sắp xếp dữ liệu

Chào mừng quý vị đến với Đỗ Đường Hiếu.

Tạo bài viết mới PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG (Nguyễn Tất Thu)